|
|
Vì $a,b,c>0$ và $abc=1$ nên tồn tại $x,y,z>0$ sao cho $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$. Khi đó:
$\frac{a^2}{(ab+2)(2ab+1)}=\frac{\frac{x^2}{y^2}}{\left( \frac{x}{y}.\frac{y}{z}+2\right) \left( 2\frac{x}{y}.\frac{y}{z}+1\right) }=\frac{z^2x^2}{(xy+2yz)(2xy+yz)}$
Đặt $zx=m,xy=n,yz=p$ thì ta được:
$\frac{a^2}{(ab+2)(2ab+1)}=\frac{m^2}{(n+2p)(2n+p)}$
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\sum_{m,n,p}{\frac{m^2}{(n+2p)(2n+p)}}\geq \frac{1}{3}$.
Thật vậy:
$\sum_{m,n,p}{\frac{m^2}{(n+2p)(2n+p)}}=\sum_{m,n,p}{\frac{m^4}{(mn+2pm)(2mn+pm)}} \geq \frac{(m^2+n^2+p^2)^2}{4(m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2)+5mnp(m+n+p)}$
Ta cần chứng minh:
$3(m^2+n^2+p^2)^2\geq 4(m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2)+5mnp(m+n+p)$
$\Leftrightarrow 3(m^4+n^4+p^4)+2(m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2)\geq 5mnp(m+n+p)$
BĐT trên có thể dễ dàng suy ra từ $m^4+n^4+p^4\geq m^2n^2+n^2p^2+p^2m^2\geq mnp(m+n+p)$.
Tóm lại, với $a,b,c>0$ mà $abc=1$ thì ta có BĐT $\sum_{a,b,c}{\frac{a^2}{(ab+2)(2ab+1)}}\geq \frac{1}{3}$. Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1.$
|