Đề toán mừng xuân Quý Tị trường tớ

Question

Có thể cái tiêu đề này ko hợp yêu cầu thì mình xin lỗi nha, giúp mình nhé, cảm ơn các bạn nhiều !
Bài 1. Cho a,b,c dương thoả mãn : $6(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}) \leq 1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

Tìm GTLN của: $M= \dfrac{1}{10a+b+c}+\dfrac{1}{a+10b+c}+\dfrac{1}{a+b+10c}$

Bài 2. Có 8 ca sĩ hát trong lễ hội. Mỗi bài hát được hát bởi 4 nhóm ca sĩ. Mỗi cặp ca sĩ được hát cùng nhau số bài hát như nhau. Tìm số bài hát nhỏ nhất được hát trong lễ hội.

Bài 3. Giải hệ phương trình sau trên tập hợp các số nguyên tố
$(1) x=t^2-2$
$(2) y=2t^2-1$
$(3) z=3t^2+4$

Bài 4. Cho số thực $a > 0$. Xét tất cả các ngũ giác phẳng ABCDE có $AB=BC=a\sqrt{2} ; CD=DE=EA=a$. Gọi S là diện tích của ngũ giác. Hãy tìm giá trị lớn nhất của S.

Bạn chú ý lần sau khi đăng câu hỏi là chỉ dc đăng 1 câu hỏi trong 1 phần thui nhé, không đăng nhìu câu hỏi trong 1 phần như thế này. thanks. BQT

score 3 · Answer 1

Cho $a=b=c=3$. Khi ấy, $M=\frac{1}{12}$. Ta chỉ ra câu trả lời là $\frac{1}{12}$.
Đặt $a=\frac{3}{x}$, $b=\frac{3}{y}$ và $c=\frac{3}{z}$, với $x$, $y$ , $z$ dương.

Điều kiện đã cho ta có, $2(x^2+y^2+z^2)\leq3+x+y+z$ Và ta cần chứng minh $\sum_{cyc}\frac{xyz}{10xy+xz+yz}\leq\frac{1}{4}$.
Từ $(x+y+z)^2\leq3(x^2+y^2+z^2)$, ta nhận được $2(x+y+z)^2\leq9+3(x+y+z)$,
Ta nhận được $x+y+z\leq3$.
Vậy, cần chứng minh:
$\sum_{cyc}\frac{xyz}{10xy+xz+yz}\leq\frac{x+y+z}{12}$, điều này đúng vì:
$10xy+xz+yz\geq12\sqrt[12]{x^{11}y^{11}z^2}$ đúng theo bất đẳng thức cauchy
$x+y+z\geq\sum_{cyc}x^{\frac{5}{6}}y^{\frac{1}{12}}z^{\frac{1}{12}}$ đúng (Bất đẳng thức Miurhead)

P/s: Mình đoán là bạn học chuyên toán, nếu chưa biết thì tìm hiểu về bất đẳng thức Miurhead nhé

score 2 · Answer 2

Bài 3:
Mình hiểu là $x,y,z,t$ đều là số nguyên tố nhé :D
Trước hết ta thầy nếu $a\in N$ thì $a^2$ chia 7 dư $0,1,2,4$
Xét $t>7$ t là số nguyên tố nên t không chia hết cho 7
$t^2$ chia 7 dư 1 thì $z=3t^2+4$ chia hết cho 7, => z không nguyên tố
$t^2$ chia 7 dư 2 thì $x=t^2-2$ chia hết cho 7 => x không nguyên tố
$t^2$ chia 7 dư 3 thì $y=2t^2-1$ chia hết cho 7 => y không nguyên tố
Vậy xét t là các số nguyên tố bé hơn 7
t=2 không thỏa mãn
t=3, x=7,y=17,z=31 (Thỏa mãn)
t=5, y=49 (không thỏa mãn)
t=7, x=47, y=97,z=151 (Thỏa mãn)
Vậy có 2 bộ số thỏa mãn như trên.