Bất đẳng thức.

Question

Cho $a,\,b,\,c\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3.$ Chứng minh rằng: $$\dfrac{1}{a^2+2}+\dfrac{1}{b^2+2}+\dfrac{1}{c^2+2}\leq 1$$

Học Tại Nhà · Answer 1 · 6/19/2013 1:35:15 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

$\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{c^2+2}\le 1$

$\Leftrightarrow \frac{2}{a^2+2}+\frac{2}{b^2+2}+\frac{2}{c^2+2}\le 2$

$\Leftrightarrow \frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\ge 1$

Áp dụng BĐT Bunhia

$\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}$

$\ge \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6}$

$=\frac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}{a^2+b^2+c^2+6}=1$

lịch sử

Sửa 19-06-13 01:35 PM

Học Tại Nhà
16 4

392K 217K

Trả lời 19-06-13 12:52 PM

GreenmjlkTea FeelingTea
1

277K 282K

Bài giải cũng hay mà dễ hiểu ấy nhỉ. :) – doanthien2011 19-06-13 06:52 PM

Em xem giải đáp ở dưới nhé – GreenmjlkTea FeelingTea 19-06-13 03:51 PM

À dạ vâng em hiểu rồi anh ạ, còn cái chỗ Bất đẳng thức $Cauchy-Schwarzt$ sao em thấy lạ quá vậy anh ơi, anh nói rõ hộ em với ạ. – Xusint 19-06-13 03:36 PM

Em lấy 3 trừ cho cả hai vế – GreenmjlkTea FeelingTea 19-06-13 03:29 PM

Anh ơi chỗ dấu tương đương thứ hai là nhân $2$ cho cả hai vế thì em hiểu rồi còn chỗ dấu tương đương thứ ba thì em không hiểu và tại sao lại đổi chiều BĐT ạ? – Xusint 19-06-13 03:28 PM

GreenmjlkTea FeelingTea · Answer 2 · 6/19/2013 3:51:46 PM

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

BĐT Bunhiacopski ở dạng cơ bản được phát biểu như sau ( Ví dụ cho 3 số )

Cho $a,b,c,x,y,z\in R$

$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\ge (ax+by+cz)^2$

Dấu bằng có $\Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$

Cũng có một dạng nữa , dạng phân thức , hay dùng để giải các bài toán có chứa phân số

Dạng này cho ta một cái nhìn rất nhanh và hiệu quả

Cho $x,y,z>0$ khi đó

$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$

Chỉ cần nhân cả hai vế với $x+y+z$ ta sẽ thấy ngay dạng này và dạng đầu tiên tương đương với nhau

Trả lời 19-06-13 03:51 PM

GreenmjlkTea FeelingTea
1

277K 282K

dạng Engel chứ nhỉ – ๖ۣۜDevilღ 13-11-13 01:34 AM

Dạ vâng, anh học $KHTN$ hay $SP$ Toán vậy ạ :) – Xusint 19-06-13 04:23 PM

Anh là sinh viên năm cuối rồi em ạ – GreenmjlkTea FeelingTea 19-06-13 04:01 PM

Ừm , cả hai tên gọi đều được chấp nhận – GreenmjlkTea FeelingTea 19-06-13 03:59 PM

:D anh năm nay thi Đại học chắc hốt trọn điểm 10 rồi anh nhỉ! Anh ơi hình như người ta còn gọi là Bất đẳng thức $Cauchy-Schwarzt$ dạng $Angel$ đúng không anh – Xusint 19-06-13 03:57 PM