Điều kiện hàm số có cực trị(9).

Question

Tìm $m$ để hàm số $y=2mx^4-x^2-4m+1$ có ba điểm cực sao cho khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu là $5.$

score 1 · Answer 1

Đạo hàm của hàm số y:

$y'=8mx^3-2x=2x(4mx^2-1)$

$y'=0\Rightarrow x=0$ hoặc

$4mx^2-1=0$
Để hàm số có ba điểm cực trị thì

$m>0$
Khi đó ta có hoành độ ba điểm cực trị của hàm số là:

$-\frac{1}{2\sqrt{m}};0;\frac{1}{2\sqrt{m}}$
Dể thấy:

$-\frac{1}{2\sqrt{m}}<0<\frac{1}{2\sqrt{m}}$
Mặt khác đây là hàm số trùng phương nên hai điểm cực tiểu là:

$A(-\frac{1}{2\sqrt{m}};y)$ và

$B(\frac{1}{2\sqrt{m}};y)$
(Do đây là hàm số trùng phương nên hàm đối ứng qua trục tung Oy nên A và B có tung độ gống nhau)
Độ dài AB:

$AB=\sqrt{(\frac{1}{2\sqrt{m}}+\frac{1}{2\sqrt{m}})^2}=5$

$\Rightarrow m=\frac{1}{25}>0$
Vậy

$m=\frac{1}{25}$ là điểm cần tìm