|
|
Điều kiện đầu tiên để biểu thức nguyên là: $x\geq 0$
Đặt $A=\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3}$
Dể thấy:
*Với $x=0$ thì $A=0$
*Với $x=1$ thì $A=1$
*Với $x=2;3;4$ thì A không là giá trị nguyên!
Xét $x>4$
Thấy rõ $x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3=\sqrt{x}(x-3)+3$
Mà $\sqrt{x}>2$; $x-3>1$ do cả hai vế bất đẳng thức dương nên nếu nhân ại ta có: $\sqrt{x}(x-3)>2$
Suy ra: $x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3=\sqrt{x}(x-3)+3>5$
Do tử thức và mẩu thức là hai số dương, nên để $A$ nguyên thì tử phải lớn hơn hoặc bằng mẩu, tức:
$\sqrt{x}\geq x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3$ Suy ra $x\sqrt{x}-4\sqrt{x}+3\leq 0$
Điều này không xảy ra vì: $\sqrt{x}>2$; $x-4>0$ Suy ra $\sqrt{x}(x-4)+3>3$ tức $x\sqrt{x}-4\sqrt{x}+3> 3$
Vậy để A nguyên thì: $x=0$ hoặc $x=1$
|