Có $\sqrt{1+999^2+\frac{999^2}{1000^2}}=\frac{\sqrt{1000^2+999^2.1000^2+999^2}}{1000}$$=\frac{\sqrt{1000^2.(1+999^2)+999^2}}{1000} (1)$
Xét $1+999^2=1+(1000-1)^2=1+1000^2-2.1000+1$
$=1000^2-2(1000-1) = 1000^2-2.999$
Thế vào (1), ta có
$(1) = \frac{\sqrt{1000^2(1000^2-2.999)+999^2}}{1000}$
$=\frac{\sqrt{(1000^2-999)^2}}{1000}$
$=\frac{1000^2-999}{1000}$
Vậy $BT = (1) +\frac{999}{1000}=1000$