.CMR: $\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+x}\leq \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Question

Bài toán: Cho

$0\leq x;y\leq 0,5$ .CMR:

$\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+x}\leq \frac{2\sqrt{2}}{3}$

mathworld1999 · Answer 1 · 1/1/2014 10:19:01 AM

$\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+x}=\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{y}}{xy+x+y+1}$

Vì

$0\leq x;y\leq 0,5$

$\Rightarrow \left ( \frac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{x}\right )\left ( \frac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{y}\right )\geq 0$

$\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2xy}$ (1)

Mặt khác

$x\sqrt{x}+y\sqrt{y}\leq \frac{x+y}{\sqrt{2}}$ (2)

Dùng bđt Côsi cho 2 số ta có

$\sqrt{xy}\leq xy+\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{2\sqrt{2xy}}{3}\leq \frac{2\sqrt{2}xy}{3}+\frac{\sqrt{2}}{6}$ (3)

$\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}\Rightarrow \frac{\sqrt{2xy}}{3}\leq \frac{\sqrt{2}(x+y)}{6}$ (4)

Lấy (3)+(4) ta có

$\sqrt{2xy}\leq \frac{2\sqrt{2}xy}{3}+\frac{\sqrt{2}\left ( x+y \right )}{6}+\frac{\sqrt{2}}{6}$ (5)

Thay (5) vào (1) rồi cộng với(2) ta có

$x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq \frac{2\sqrt{2}}{3}\left ( xy+x+y+1 \right )$

Ta có đpcm

Câu hỏi này được treo giải thưởng trị giá +20000 vỏ sò bởi trongnambg75@yahoo.com.vn, đã hết hạn vào lúc 02-01-14 01:24 PM