1.
$A=x^2+y^2 \ge \frac{x^2+y^2}{2x^2 +y^2 + xy}=\frac{t^2+1}{2t^2+1+t}=B$, trong đó $t=\frac{x}y.$
Như vậy ta chỉ cần tìm $\min$ của $B=\frac{t^2+1}{2t^2+1+t}$. Ta có
$B(2t^2+t+1)=t^2+1\Leftrightarrow t^2(2B-1)+Bt+B-1=0$.
Xem đây là PT bậc hai ẩn $t$ và xét điều kiện có nghiệm của nó thì
$\Delta \ge 0\Leftrightarrow B^2 -4(2B-1)(B-1) \ge 0\Leftrightarrow 7B^2-12B+4 \le 0\Rightarrow B \ge \frac{6-2\sqrt 2}{7}$.
Suy ra $A \ge \frac{6-2\sqrt 2}{7}$ nên $\min A= \frac{6-2\sqrt 2}{7}\Leftrightarrow \begin{cases}2x^2 +y^2 + xy=1 \\ x^2+y^2 =\frac{6-2\sqrt 2}{7}\end{cases}$.
Em tự tìm nốt $x,y$ nhé.