(15)

Question

Cho các số thực không âm

$a,b,c$ thỏa mãn

$a^2+b^2+c^2=3$

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$\color{brown}{\mathfrak{I}=\frac{3(a^3+b^3+c^3)-20}{a+b+c}}$

Bloody's Rose · Answer 1 · 8/3/2016 4:03:34 PM

Do

$a,b,c\geq0$ nên ta có:

$3=a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq (a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=9$

$\Rightarrow \sqrt{3}\leq a+b+c \leq3$

Đặt

$t=a+b+c,t\epsilon \left[ {\sqrt{3};3} \right]$

*)

$ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2}}{2}=\frac{t^{2}-3}{2}$

*) Use BĐT Schur bậc 3 ta có:

$(a+b+c)^{3}+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow 9abc\geq 2t(t^{2}-3)-t^{3}=t^{3}-6t\Rightarrow abc\geq \frac{t^{3}-6t}{9}$

$J=\frac{3\left[ {(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)+3abc}-20 \right]}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow J=\frac{3\left[ {t(3-\frac{t^{2}-3}{2})+\frac{t^{3}-6t}{3}}-20 \right]}{t}$

$\Leftrightarrow J=\frac{-t^{2}}{2}-\frac{20}{t}+\frac{15}{2}=f(t)$

Khảo sát hàm f(t) trên đoạn

$\left[ {\sqrt{3};3} \right]$

$\Rightarrow f(t)\geq f(3)\Rightarrow J\geq \frac{-11}{3}$

Dấu''='' xra

$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Trả lời 03-08-16 04:03 PM

Bloody's Rose
281 3

142K 705K

chỗ xét hàm đó tui bít sơ sơ nên sai đâu ô sửa dùm đi:D – Bloody's Rose 03-08-16 04:37 PM

ặc.z thì chịu r:)) – Bloody's Rose 03-08-16 04:36 PM

chỗ xét hàm cuối hình như sai rồi bà ơi – tran85295 03-08-16 04:29 PM

1 Đáp án