giúp mình vs ha.sao mình thấy khó quá ý

Question

Cho

$x,y,z$ không âm :

$x+y+z=1$ .cm

a,

$2(x^3+y^3+z^3)+3(x^2+y^2+z^2)+12xyz\geq \frac{5}{3}$

b,

$\frac{13}{27}\leq x^2+y^2+z^2+4xyz<\frac{1}{2}$

score 1 · Answer 1

b,HD:Dùng bất đẳng thức Schur với r=1 dạng nêu trên.

score 1 · Answer 2

a,Với x,y,z đã cho ta có BĐT sau:

$3(x^3+y^3+z^3)\geq(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)$

Vì đây là bđt thuần nhất đối xứng nên để CM có thể chuẩn hóa cho

$x+y+z=3$ bạn tự CM

Vì vậy nên

$VT\geq \frac{2(x^2+y^2+z^2)}{3}+3(x^2+y^2+z^2)+12xyz=\frac{11}{3}(x^2+y^2+z^2)+12xyz$

Theo bất đẳng thức Schur ta có

$(x+y+z)^3+9xyz\geq 4(x+y+z)(xy+yz+xz)$

Với

$x+y+z=1$ thì

$1+9xyz\geq 4(xy+yz+xz)$

$\Rightarrow 12xyz\geq 12.\frac{4(xy+yz+xz)-1}{9}$

$VT\geq \frac{11}{3}(x^2+y^2+z^2)+\frac{16(xy+yz+xz)-4}{3}=\frac{11(x^2+y^2+z^2)+16(xy+yz+xz)-4}{3}$

$11(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz)-6(xy+yz+xz)-4=11(x+y+z)^2-6(xy+yz+xz)-4\geq 11-2-4=5\Rightarrow Q.E.D$

Dấu = khi

$x=y=z$

2 Đáp án