Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau:1a+1b+1c+9a+b+c≥4(1a+b+1b+c+1c+a)
Không mất tính tổng quát chuẩn hóa cho a+b+c=1
BĐT cần chứng minh tương đương với:
(41−a−1a)+(41−b−1b)+(41−c−1c)≤9
⇔5a−1a−a2+5b−1b−b2+5c−1c−c2≤9
Ta có đánh giá sau:5a−1a−a2≤18a−3⇔(3a−1)2(2a−1)a−a2≤0(1)
Ta có thể giả sử a=max{a,b,c} nên 0<a<12 nên 1 đúng
Vậy ∑5a−1a−a2≤18(a+b+c)−9=9
Phép chứng minh hoàn tất.
Áp dụng ta có (a+b+c)(1a+1b+1c)+9≥4(a+b+ca+b+b+c+ab+c+a+c+ba+c)
⇔b+ca+a+cb+a+bc≥4(ca+b+ab+c+ba+c)
Bất đẳng thức ban đàu tương đương với:
a+cb+b+ca+a+bc≥3+2(ab+c+ba+c+ca+b)
Nó đúng nếu ta chỉ ra 4(∑ca+b))≥3+2(∑ca+b)
Theo BĐT Nesbit ta có đpcm