Đề thi thử đội tuyển Toán 1 (THPT Chuyên khối 11-12)

Question

Bài 1. Giải hệ phương trình:

$\begin{cases}x^{2013}+xy^{2012}=y^{4026}+y^{2014} \\ 7y^4-13x+8=2y^4\sqrt[3]{x(3y^2-3x^2+1)} \end{cases}$

Bài 2. Cho hai mặt cầu

$(S_1)$ và

$(S_2)$ bán kính khác nhau tiếp xúc ngoài nhau. Các mặt cầu này nằm trong một mặt nón

$(C)$ . Mỗi mặt cầu tiếp xúc với mặt nón theo một đường tròn. Trong mặt nón có n hình cầu như nhau xếp thành một vòng sao cho mỗi một trong chúng tiếp xúc với mặt nón

$(C)$ , tiếp xúc

$(S_1),$

$(S_2)$ và tiếp xúc với hình cầu hai bên. Tìm n?

Bài 3. Giả sử

$a,b,c$ là các số dương sao cho

$abc=1$ . Chứng minh rằng:

$\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+b)^3}+\frac{1}{(1+c)^3}+\frac{5}{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1$

Bài 4. Tìm các hàm số

$f:R\rightarrow R$ thỏa mãn phương trình hàm:

$f(x+f(y))=f(x)+\frac{1}{8}xf(4y)+f(f(y))$

Bài 5. Cho các dãy số {

$x_n$ } và {

$y_n$ } được xác định bới công thức

$x_1=a>0,y_1=b>0$

$x_n=\frac{x_{n-1}+y_{n-1}}{2},y_n=\sqrt{x_n.y_{n-1}}$

Chứng tỏ rằng chúng cùng hội tụ và có chung một giới hạn

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }x_n=\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }y_n$

Bài 6. Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức:

$P(x,y)=x^n+xy+y^n$

không thể viết dưới dạng

$P(x,y)=G(x,y).H(x,y)$ , trong đó

$G(x,y)$ và

$H(x,y)$ là các đa thức với hệ số thực, khác đa thức hằng

score 1 · Answer 1

Câu bất này khá hay có ĐK

$abc=1$ cũng không cần dùng đến.

Ta đi chứng minh BĐT sau là đúng với mọi a,b,c dương:

$\frac{a^3}{(a+b)^3}+\frac{b^3}{(b+c)^3}+\frac{c^3}{(a+c)^3}+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}\geq 1$

Đặt

$x=\frac{a-b}{a+b},y=\frac{b-c}{b+c},z=\frac{c-a}{c+a}\rightarrow x+y+z+xyz=0$

Có

$1+x=\frac{2a}{a+b},1+y=\frac{2b}{b+c},1+z=\frac{2c}{a+c}$ .Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$(1+x)^3+(1+y)^3+(1+z)^3+5(1+x)(1+y)(1+z)\geq 8$

Bằng khai triển trực tiếp ta cần phải CM:

$\frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]+3\sum x^2+5\sum xy \geq0$

$x+y+z=-\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(c+b)(a+c}$ .Không mất tính tổng quát giả sử

$a\geq b\geq c$ .Thế thì

$x+y+z\geq0$

Bây giờ cần chỉ ra:

$3(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+xz)\geq0$

Nếu

$xy+yz+xz\geq0$ thì ta có đpcm.

Nếu

$xy+yz+xz\leq 0$ thì ta có

$3(x+y+z)^2-(xy+yz+xz)\geq 0$

Vậy bài toán đc CM.

Áp dụng ta có:

$\frac{1}{(1+\frac{b}{a})^3}+\frac{1}{(1+\frac{c}{b})^3}+\frac{1}{(1+\frac{a}{c})^3}+\frac{5}{(1+\frac{b}{a})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{a}{c})}\geq 1$

Do

$\frac{b}{a}.\frac{c}{b}.\frac{a}{c}=1$ nên bằng 1 phép đặt thích hợp thì ta thu dc bài toán ban đầu.

score 1 · Answer 2

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Bài 1:

Từ PT(1) nhận thấy y=0 không là nghiệm nên

$(1)\Leftrightarrow \frac{x^{2013}}{y^{2013}}+\frac{x}{y}=y^{2013}+y$

Từ đó xét hàm

$f(t)=t^{2013}+t$ ta được

$x=y^2>0$

Thế xuống dưới ta được:

$7x^2-13x+8=2x^2\sqrt[3]{x(3x-3x^2+1)}$

PT này có 1 nghiệm đẹp là 1 nên có lẽ sẽ liên hợp đc

Giai bang lien hop la sai lam – Nero 21-11-14 07:37 PM

Hỏi	19-11-14 06:13 PM
Lượt xem	2755
Hoạt động	24-11-14 06:22 PM

Đề thi thử đội tuyển Toán 1 (THPT Chuyên khối 11-12)

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Đề thi thử đội tuyển Toán 1 (THPT Chuyên khối 11-12)

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan