1. Điểm $(x_{o};y_{o}) $ là điểm cố định của $(C_{m})$ nghĩa là $y_{o}=x_{o}^{3}+mx_{o}^{2}+mx_{o}$ với mọi $m$.
$\Leftrightarrow m(x_{o}^{2}+x_{o})+x_{o}^{3}-y_{o}=0$ với mọi $m$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x_{o}+x_{o}^{2}=0 \\ x_{o}^{3}-y_{o}=0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\left [ \begin{matrix}x_{o}=0 \\ x_{o}=-1\end{matrix}\right. \\ x_{o}^{3}=y_{o}\end{cases}$
$\begin{cases}x_{o}=0 \\ y_{o}=0\end{cases}$ hoặc $\begin{cases}x_{o}=-1 \\ y_{o}=-1\end{cases}$
Vậy $(C_{m})$ có hai điểm cố định khi $m$ thay đổi là $(0;0)$ và $(-1;-1)$
2. Hoành độ giao điểm của $(C_{m})$ và $y=x$ là nghiệm của phương trình $x^{3}+mx^{2}+mx=x$
$\Leftrightarrow x(x^{2}+mx+m-1)=0$
Khi đó $O(0;0)$ ứng với nghiệm $x=0$ của phương trình trên. Các hoành độ còn lại là nghiệm của phương trình:
$x^{2}+mx+m-1=0\qquad (1)$
Để $(C_{m})$ cắt $y=x$ tại hai điểm còn lại là $A,B$ thỏa mãn $AB=\sqrt{2}$ thì phương trình $(1)$ phải có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ (là các hoành độ của $A$ và $B$. Khi đó các tung độ tương ứng sẽ là $y_{1}=x_{1}$; $y_{2}=x_{2}$) và $AB=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}=\sqrt{2}$.
Xét $\Delta =m^{2}-4(m-1)=(m-2)^{2}\geq 0$ với mọi $m$ nên $(1)$ có hai nghiệm phân biệt với mọi $m\neq 0$
Khi $(1)$ có hai nghiệm phân biệt thì $x_{1}+x_{2}=-m$ và $x_{1}x_{2}=m-1$.
Mặt khác $AB=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}=\sqrt{2(x_{1}-x_{2})^{2}}=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow (x_{1}-x_{2})^{2}=1\Leftrightarrow (x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=1$
$\Leftrightarrow m^{2}-4(m-1)=1\Leftrightarrow (m-2)^{2}=1\Leftrightarrow m=3$ hoặc $m=1$
Vậy với $m=1$ hoặc $m=3$ thì $(C_{m})$ cắt $y=x$ tại ba điểm phân biệt $O(0;0)$ và $A,B$ sao cho $AB=\sqrt{2}$