Bất đẳng thức

Question

Cho 4 số thực

$x, y, z,t\geq 1.$ Tìm GTNN của biểu thức:

$A=(xyzt+1)(\frac{1}{x^4+1}+\frac{1}{y^4+1}+\frac{1}{z^4+1}+\frac{1}{t^4+1}).$

score 1 · Answer 1

Ta sẽ đi chứng minh BĐT sau với

$x_1\geq1, i=\overline{1,n}$ :

$\frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2}+...+\frac{1}{1+x_n}\geq \frac{n}{1+\sqrt[n]{x_1.x_2....x_n}}$

Thử trực tếp với

$n=1,2,3$ ta được các kết quả đúng giả sử BĐT đúng đến

$n$ ta có

$\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1+x_i}\geq \frac{n}{1+\sqrt[n]{x_1.x_2....x_n}}$

Ta đi chứng minh bất đẳng thức đúng đến

$n+1$ nghĩa là:

$\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{1+x_i}\geq \frac{n+1}{1+\sqrt[n+1]{x_1.x_2...x_{n+1}}}$

Sau đó áp dụng BĐT trên với

$x_1=a^4,x_2=b^4....,x_4=d^4$

Vậy

$Min=1$

1 Đáp án