Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
$AB^{2}=BH.BC$$AC^{2}=CH.BC$
$\Rightarrow\frac{AB^{2}}{AC^{2}}=\frac{BH.BC}{CH.BC}=\frac{BH}{CH}$ (1)
Mà :
$\frac{AB}{AC}=\frac{5}{4}\Rightarrow \frac{AB^{2}}{AC^{2}}=\frac{25}{16}$ (2)
Thay (2) vào (1) ta được :
$\frac{BH}{HC}=\frac{25}{16}\Rightarrow HC=\frac{16.BH}{25}$
Và: BH + HC = BC $\Rightarrow BH + \frac{16.BH}{25}=82$
Đặt BH = x , ta có : x + $\frac{16x}{25}=82\Rightarrow 25x+16x=82.25\Rightarrow x=50$
Vậy BH = 50 cm