BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC.

Question

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a/

$a^{4}+b^{4}\geq a^{3}\times b+a\times b^{3};\forall a,b\geq 0$

b/

$\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}};\forall a,b,c\in R$

c/

$\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+a\times b};\forall a,b\geq 1$

score 7 · Answer 1

Bình chọn tăng 7 Bình chọn giảm

Câu a làm như của Gia Hưng cũng được, còn đây là làm the BĐT Cô si

$a^4+b^4\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$

$=\frac{(a^2+b^2)(a^2+b^2)}{2}$

$\geq \frac{(a^2+b^2)2ab}{2}$

$=(a^2+b^2)ab$

$=a^3b+ab^3$

score 10 · Answer 2

b/ Đề phải là

$\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$

Đây là BĐT minkopxki

Bình phương 2 vế ta được

<=>

$a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}\geq a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd$

<=>

$\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}\geq ac+bd$

Nếu VP<0 => BĐt luôn đúng

Với VP \geq0 bình phương 2 vế

<=>

$a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\geq a^2c^2+b^2d^2+2abcd$

<=>

$(ad-bc)^2\geq 0$ đây là hiển nhiên

Dấu

$=$ xảy ra tại

$ad=bc$ hay

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Gia Hưng · Answer 3 · 12/25/2014 7:05:03 PM

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Câu 2 Câu 3 cũng đều là biến đổi tương đương cứ bình phương rồi nhân tung tóe ra là xong

Trả lời 25-12-14 07:05 PM

Gia Hưng
21 1

70K 93K

Gia Hưng · Answer 4 · 12/25/2014 7:03:44 PM

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

câu 1 :Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$a^{4}+b^{4}-a^{3}b-ab^{3}\geq 0$

$(a^{3}-b^{3})(a-b)\geq 0$

$(a-b)^{2}(a^{2}+ab+b^{2})\geq 0$ (Đúng)

Trả lời 25-12-14 07:03 PM

Gia Hưng
21 1

70K 93K

Hỏi	25-12-14 06:53 PM
Lượt xem	2871
Hoạt động	26-12-14 09:43 PM

BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC.

4 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC.

4 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan