Từ điều kiện bài toán ta có $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$Giả sử $(a;b;c)\sim(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})\Rightarrow ab+bc+ac=1$
Bất đnagử thức cần chứng minh viết lại là $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\geq 3+\sum\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}$
$\Leftrightarrow a+b+c\geq 3abc+\sum bc\sqrt{a^2+1} $
Có $bc\sqrt{a^2+1}=bc(a+b)(a+c)\leq\frac{2abc+bc(b+c)}{2}$
Bất đẳng thức ban đầu chỉ đúng nếu ta chỉ ra được
$(a+b)+(b+c)+(a+c)\geq 12abc+\sum bc(b+c)$
Mà $(b+c)(1-bc)=a(b+c)^2\geq 4abc$
Từ đó ta có ĐPCM