ta có $4(x+y+z)=4xyz\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=\frac{3}{4}$
ta chứng mình được BĐT sau $\frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\Leftrightarrow \left ( a+b \right )^2\geq 4ab$Áp Dụng ta được
$\sum_{}^{} \frac{1}{x+2+yz}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \right )=\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2} \right )+\frac{1}{4}.\frac{3}{4}$
Dự đoán $MaxP=\frac{3}{8}\Leftrightarrow x=y=z=2$
vậy ta sẽ chứng minh $\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}\leq \frac{3}{4}$
Thật vậy BĐT trên tương đương $xy+yz+zx\geq12$ (đúng)
vì Áp Dụng BĐt AM-GM ta có
$3xyz=4(x+y+z)\geq 12\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow (xyz)^2\geq 64 \Rightarrow xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{(xyz)^2}\geq 12 $
$XONG$
vậy $MaxP=\frac{3}{8} \Leftrightarrow x=y=z=2$
trình bày còn lủng củng mong bạn thông cảm