toán học

Question

Tìm các số tự nhiên x và y biết rằng :

$\begin{cases}2^x=4^{y-1} \\ 27^y=3^x+8 \end{cases}$

★★.P.I.N.O.★★ · Answer 1 · 8/15/2015 11:13:35 AM

Ta có:

$(1)\Leftrightarrow x=2y-2$

Thế vào pt(2) ta được:

$(2)\Leftrightarrow 3^{3y}=3^{2y-2}+8$

$\Leftrightarrow \left ( 3^{y} \right )^{3}-\frac{1}{9}\left ( 3^{y} \right )^{2}-8=0$

$(\bigstar)$

Đặt

$t=3^y,t\geq 1$ , (vì x,y là số tự nhiên,

$y\geq 0\Rightarrow 3^y\geq 1$ ) phương trình

$(\bigstar)$ trở thành:

$9t^3-t^2-72=0=f(t)$

Ta có:

$f'(t)=27t^2-2t;f"(t)=54t-2>0,\forall t\geq 1.$

Suy ra:

$f'(t)$ đồng biến trên

$[1;+\infty )\Rightarrow f'(t)\geq f'(1)=25>0$

Suy ra:

$f(t)$ đồng biến trên

$[1;+\infty )$

Lại có:

$f(2).f(3)<0\Rightarrow$ phương trình

$f(t)=0$ có nghiệm duy nhất

$t\in (2;3)$

$t=3^y\in \mathbb N$ (vì y là số tự nhiên) nên hệ đã cho vô nghiệm hay không tồn tại

$x;y$ thoả mãn yêu cầu bài toán.

Click dấu tick nếu đáp án chính xác...

score 0 · Answer 2

Từ pt

$(1)\Leftrightarrow x=2y-2$

Thế vào pt(2) ta được:

$(2)\Leftrightarrow 3^{3y}=3^{2y-2}+8$

$\Leftrightarrow \left ( 3^{y} \right )^{3}-\frac{1}{9}\left ( 3^{y} \right )^{2}-8=0$

tới đây mình hết biết r mà hình như sử dụng phương pháp Cardano để giải đó

2 Đáp án