Đặt $a=x^3;b=y^3;c=z^3\Rightarrow xyz=1$Ta có: $x^3+y^3+1=(x+y)(x^2-xy+y^2)+1\geq xy(x+y)+1=xy(x+y)+xyz=xy(x+y+z)$
Thiết lập tương tự: $y^3+z^3+1\geq yz(x+y+z);z^3+x^3+1\geq zx(x+y+z)$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
$\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\leq \frac{1}{x+y+z}\sum \frac{1}{xy}=\frac{\sum x }{x+y+z}=1$