Bất đẳng thức

Question

Cho $a,b,c>0$ . Chứng minh

$\frac{1}{a+5b}+\frac{1}{b+5c}+\frac{1}{c+5a}\le \sqrt{\frac{a+b+c}{12abc}}$

Giải được có thưởng :D

score 1 · Answer 1

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

BĐT này hiển nhiên sau khi khai triển. Ta có thể làm mạnh BĐT này lên:

$\frac{1}{7a+b}+\frac{1}{7b+c}+\frac{1}{7c+a}\leq \sqrt{\frac{3(a+b+c)}{64abc}}$ .

Hai kết quả tương tự sau đây giành cho bạn:

Cho

$a,b,c$ thục dương thỏa mãn

$a+b+c=abc$ và

$\frac{1}{5}\leq k \leq5$ .Chứng minh rằng:

$\frac{1}{ka+b}+\frac{1}{kb+c}+\frac{1}{kc+a}\leq \frac{\sqrt{3}}{k+1}$

$\frac{1}{7a+b}+\frac{1}{7b+c}+\frac{1}{7c+a}\leq \frac{\sqrt{3}}{8}$

NGười ta đặt như thế là để làm chặt BĐT khi các đại lượng được chia nhỏ đêu tiến về 0. Có hẳn 1 phương phá về cái này mà người tìm ra là 1 đại ca người Nhật Bản. Về tự tìm hiểu thêm đi, hơn nữa BĐT khó có lời giải đẹp. – WhjteShadow 24-02-16 09:48 PM

Khai triển chắc 2 trang giấy :v đặt như thế chẳng được gì. Khai triển cũng vậy. – ♂Vitamin_Tờ♫ 14-02-16 11:39 AM

BĐT 2 sở dĩ chặt hơn vì cách chia về các đại lượng xấp xỉ 0 cũng không giải quyết đc vấn đề nữa. – WhjteShadow 12-02-16 08:21 PM

hiển nhiên là phải tự bạn nhìn thấy, giả sử c nhỏ nhất ta đi xét 2 trường hợp a>=b>=c. Trong trường hợp này, đặt a=c x y,b=c x thay vào rồi khai triển ra bạn sẽ thấy cái "hiển nhiên".Trường hợp b>=a>=c cũng thực hiện tương tự. – WhjteShadow 12-02-16 08:20 PM

Có nhằm không bạn? a 5b sao làm mạnh là 7a b. Bạn chỉ dùm mình cái "hiễn nhiên" đấy nhé :)Với lại 2 cái kết quả tương tự là chứng minh làm sao O.o – ♂Vitamin_Tờ♫ 11-02-16 08:13 PM