Cho $a, b, c \ge 0$ và $a+b+c =3$ , c/m :

Question

$a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1} \le 5$

tran85295 · Answer 1 · 2/24/2016 6:17:32 PM

Ta có:

$a\sqrt{b^{3}+1}+b\sqrt{c^{3}+1}+c\sqrt{a^{3}+1}$

=

$a\sqrt{(b+1)(b^{2}-b+1)} + b\sqrt{(c+1)(c^{2}-c+1)}+c\sqrt{(a+1)(a^{2}-a+1)}$

$\leq a.\frac{b^{2}+2}{2}+b.\frac{c^{2}+2}{2}+c.\frac{a^{2}+2}{2}=\frac{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}{2}+3(1)$

Ta phải cm:

$ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\leq4$

Gỉa sử

$a \leq b \leq c$ ,ta có:

$a(b-a)(b-c)\leq0(2)$

$\Leftrightarrow ab^{2}+ca^{2} \leq ba^{2}+abc$

$\Leftrightarrow ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\leq ba^{2}+abc+bc^{2}=b(a^{2}+ac+c^{2})\leq b(a+c)^{2}=\frac{1}{2}.2b.(3-b)^{2}$

$\leq$

$\frac{1}{2}$ .

$(\frac{2b+3-b+3-b}{3})^{3}$ =4(3)

$\Rightarrow$ đpcm

Xét dấu''='' xra ở

$(1);(2);(3)$

$\Rightarrow$ Dấu''=''xra

$\Leftrightarrow a=0;b=1;c=2$ (và các hoán vị tùy theo cách ta giả sử)

1 Đáp án