Bất đẳng thức khó

Question

Cho bộ số :

$x_{1} ; x_{2} ; ...; x_{n-1} x_{n} + x_{n} x_{1}$
CÓ S=

$x_{1} + x_{2} + ...+ x_{n}$
Có tổng :

$x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + ... + x_{n-1} x_{n} + x_{n} x_{1} = 1$
CMR :

$\frac{{x_{1}}^{2}}{S-x_{1}} + \frac{x^{2}_{2}}{S-x_{2}} + ...+ \frac{x^{2}_{n}}{S-x_{n}} \geq \frac{1}{n-1}$

score 5 · Answer 1

Cần thêm điều kiện

$x_{1},x_{2},...,x_{n}\geq0$ thì mới có kết quả cần chứng minh. Sau đây là lời giải.

Từ điều kiện đã cho suy ra tồn tại

$k$ với

$1\leq k\leq n$ để

$x_{k},x_{k+1}>0$ ; trong đó

$x_{n+1}=x_{1}$ . Từ kết quả này suy ra

$S-x_{i}>0,\forall i=\overline{1,n}$ .

Cũng từ điều kiện suy ra

$\sum_{i=1}^{n}x^{2}_{i}\geq \sum_{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}=1$ . Suy ra

$S\geq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x^{2}_{i}}=1$ .

Từ đó có

$\sum_{i=1}^{n}\frac{x^{2}_{i}}{S-x_{i}}\geq \frac{S^2}{\sum_{i=1}^{n}(S-x_{i}) }= \frac{S}{n-1}\geq \frac{1}{n-1}$ .

1 Đáp án