Bất đẳng thức khó

Question

Cho bộ số : $x_{1} ; x_{2} ; ...; x_{n-1} x_{n} + x_{n} x_{1} $
CÓ S= $x_{1} + x_{2} + ...+ x_{n} $
Có tổng : $x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + ... + x_{n-1} x_{n} + x_{n} x_{1} = 1 $
CMR :$ \frac{{x_{1}}^{2}}{S-x_{1}} + \frac{x^{2}_{2}}{S-x_{2}} + ...+ \frac{x^{2}_{n}}{S-x_{n}} \geq \frac{1}{n-1} $

score 5 · Answer 1

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Cần thêm điều kiện $x_{1},x_{2},...,x_{n}\geq0$ thì mới có kết quả cần chứng minh. Sau đây là lời giải.

Từ điều kiện đã cho suy ra tồn tại $k$ với $1\leq k\leq n$ để $x_{k},x_{k+1}>0$; trong đó $x_{n+1}=x_{1}$. Từ kết quả này suy ra $S-x_{i}>0,\forall i=\overline{1,n} $.

Cũng từ điều kiện suy ra $\sum_{i=1}^{n}x^{2}_{i}\geq \sum_{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}=1$. Suy ra $S\geq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x^{2}_{i}}=1$.

Từ đó có $\sum_{i=1}^{n}\frac{x^{2}_{i}}{S-x_{i}}\geq \frac{S^2}{\sum_{i=1}^{n}(S-x_{i}) }= \frac{S}{n-1}\geq \frac{1}{n-1}$.