Do a+b+c+d=2 nên luôn có ít nhất 1 số >0.
TH1:Với a,b,c,d>0. Ta có:
VT=4−∑3a21+3a2=4−∑3a21+4a2−a2≥4−∑3a24a−a2=4+∑3aa−4. (1)
Có: ∑3aa−4=∑3(a−4)a−4+∑12a−4=12+12.∑1a−4
≥12+12.(1+1+1+1)2a+b+c+d−16=−127.
Thay vào (1) ⇒VT≥4−127=167.
Dấu = xảy ra ⇔a=b=c=d=12.
TH2:Với a,b,c>0;d=0
VT=1+∑11+3a2=4−∑3a23a2+1=4−∑3a213(9a2+4)−13
≥4+3.∑a213−4a≥4+3.(a+b+c)21−4(a+b+c)=167.
Dấu = xảy ra khi d=0;a=b=c=23.
TH3:
a,b>0;c=d=0.
VT=2+∑11+3a2=4−∑3a23(a2+1)−2≥4+∑3a22−6a≥4+3.∑(a+b)24−6(a+b)=52>167.
TH4:a=2,b=c=d=0.Bất đẳng thức thỏa mãn.
Bài toán xong !!!