giúp em

Question

Cho hai số dương x,y thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = $\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right).\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)$ (x2+1y2 ).(y2+1x2 ‍)

111aze · Answer 1 · 3/17/2016 2:47:37 PM

Bình chọn tăng 10 Bình chọn giảm

$M=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\geq 2.\sqrt{\frac{x^2y^2}{256x^2y^2}}$

$+\frac{255}{256.\frac{(x+y)^4}{16}}+2=2.\frac{1}{16}+\frac{255}{16}+2=\frac{289}{16}.$

(Vì

$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}\Rightarrow x^2y^2\leq \frac{(x+y)^4}{16}$ )

Dấu

$=$ xảy ra

$\Leftrightarrow$

$x=y=\frac{1}{2}.$

Trả lời 17-03-16 02:47 PM

111aze
141 2

90K 349K

๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido · Answer 2 · 3/17/2016 2:43:34 PM

Bình chọn tăng 10 Bình chọn giảm

$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}$ ( AM-GM)

$A=(x^2+\frac{1}{y^2})(y^2+\frac{1}{x^2})=\frac{(x^2y^2+1)^2}{x^2y^2}$

$\Rightarrow \sqrt{A}=\frac{x^2y^2+1}{xy}=xy+\frac{1}{xy}=(xy+\frac{1}{16xy})+\frac{15}{16xy}\geq 2\sqrt{xy+\frac{1}{16xy}}+\frac{15}{16.\frac{1}{4}}=\frac{17}{4}$

$\Rightarrow A\geq \frac{289}{16}$

Vậy

$A_{min}=\frac{289}{16}$ tại

$x=y=\frac{1}{2}$

Đúng click "V" chpa61 nhận đúng và vote up dùm anh

Trả lời 17-03-16 02:43 PM

๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido
1

10M 1M