Biến đổi tương đương:$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{18}{xyz+2}\Leftrightarrow \frac{x+y+z}{xyz}>\frac{18}{xyz+2}$ (Thay $x+y+z=1$)
$\Leftrightarrow \frac{1}{xyz}>\frac{18}{xyz+2}\Leftrightarrow xyz+2 >18xyz$ (Vì $x,y,z>0$ )
$\Leftrightarrow 2>17xyz.$
Lại có:
$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$ (Theo Cô-si)
$\Leftrightarrow xyz\leq \frac{1}{27}$. (Vì $x+y+z=1$)
$\Leftrightarrow 17xyz\leq \frac{17}{27}<\frac{54}{27}=2$.
Vậy ta có điều phải chứng minh.