Điều kiện phương trình $x\geq-1$. Kí hiệu $(*)$ là phương trình cần giải. Khi đó có
$(*)\Leftrightarrow(x+4)(\sqrt{x+1}+3)=(x+1)(x^2-4x+7)$
$\Leftrightarrow(x+1)\sqrt{x+1}+3(x+1)+3\sqrt{x+1}+9=x^3-3x^2+3x+7$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x+1}+1)^3=(x-1)^3$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}+1=x-1$
$\Leftrightarrow\sqrt{x+1}=x-2$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x-2\geq 0\\x+1=(x-2)^2\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x \geq 2\\ x^2-5x+3=0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow x=\frac{5+\sqrt{13}}{2}$.
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện phương trình.