BĐT cơ sở

Question

cho a,b>0.CMR: $\sqrt[3]{\frac{a^{5} + b^{5}}{a^{2} + b^{2}}} \geq \frac{a + b}{2}$

tran85295 · Answer 1 · 3/24/2016 11:26:02 PM

Ta chứng minh

$a^5+b^5 \ge \frac{(a^2+b^2)(a^3+b^3)}{2}$ (*)

Thật vậy (*)

$\Leftrightarrow 2a^5+2b^5 \ge a^5+b^5+a^2b^3+a^3b^2\Leftrightarrow a^5+b^5 \ge a^2b^3+a^3b^2$

Đúng theo bđt cosi 5 số:

$a^5+b^5=\frac{a^5+a^5+a^5+b^5+b^5}{5}+\frac{b^5+b^5+b^5+a^5+a^5}{5} \ge a^3b^2+a^2b^3$

Việc còn lại là chứng minh

$\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}} \ge \frac{a+b}{2}\Leftrightarrow 4(a^3+b^3) \ge (a+b)^3\Leftrightarrow a^3+b^3 \ge ab(a+b)$

$\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2 \ge0$ (luôn đúng )

Vậy ta có đpcm, đẳng thức

$\Leftrightarrow a=b$

score 2 · Answer 2

Giả sử

$a\geq b>0$ . Suy ra

$a^2\geq b^2$ và

$a^3\geq b^3$ . Từ bất đẳng thức Chebyshev suy ra

$a^2.a^3+b^2.b^3\geq \frac{1}{2}(a^2+b^2)(a^3+b^3)$ ,

hay

$a^5+b^5\geq \frac{1}{2}(a^2+b^2)(a^3+b^3)$ .

Dấu bằng xảy ra khi

$a=b$ .