Đk $2 \le x \le 4$
Ta sẽ chứng minh $6\sqrt{x+6}-x^2+5x \le 24$(*)
Thật vậy (*)$\Leftrightarrow (x^2-6x+9)+(x+15)-6\sqrt{x+6} \ge 0$
$\Leftrightarrow (x-3)^2+\frac{x^2+30x+225-36x-216}{x+15+6\sqrt{x+6}} \ge 0$
$\Leftrightarrow (x-3)^2(1+\frac{1}{x+15+6\sqrt{x+6}}) \ge0$ (luôn đúng với đk trên)
Lại có $\sqrt{x-2}+ \sqrt{4-x} \le \sqrt{2(x-2+4-x)}=2$$\Rightarrow VT \le 2+24+1992=2018$
Từ đó tìm đc max là $2018$ khi $x=3$