lm jup vs

Question

tìm T lớn nhất sao cho

$\forall a;b;c>0 ;$ thoả mãn abc=1

thì bất đẳng thức sau luôn đúng

$\frac{a+b}{b(a+1)}$ +

$\frac{b+c}{c(b+1)}$ +

$\frac{c+a}{a(c+1)}\geq T$

bà lm rồi đăng lên cho con vs ...lm chi tiết vào jum con ngu con ko hỉu đâu . h con bùn ngủ r

score 5 · Answer 1

Giả sử

$T$ là số lớn nhất thỏa mãn điều kiện đề bài. Gọi

$P$ là biểu thức vế trái của điều kiện đã nói.

Lấy

$a=b=c=1$ thì có

$3\geq T$ (1).

Mặt khác từ bất đẳng thức AM-GM suy ra

$P\geq3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+1)(b+1)(c+1)}}=3\sqrt[3]{\frac{2+a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b}{2+a+b+c+ab+bc+ca}}$ .

Trường hợp

$ab+bc+ca\geq a+b+c$ . Khi đó có

$a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b \geq 4(ab+bc+ca)-2(a+b+c)$

$\geq a+b+c+ab+bc+ca$ .

Cho nên

$P\geq 3$ .

Trường hợp

$ab+bc+ca< a+b+c$ . Khi đó có

$a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b > 3(a+b+c)-1$

$> a+b+c+ab+bc+ca$ .

Cho nên

$P> 3$ .

Từ hai trường hợp trên suy ra

$P\geq3$ . Điều này chứng tỏ

$3$ vẫn thỏa mãn điều kiện đề bài. Vì tính lớn nhất của

$T$ nên

$T\geq3$ (2).

Kết hợp (1) và (2) thì có

$T=3$ .

1 Đáp án