cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn hệ thức $xyz=1$ tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{x^3+y^3+z^3}{2x+3y+z+\sqrt{xy}+3\sqrt{yz}+5\sqrt{zx}}$

Question

cho

$x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn hệ thức

$xyz=1$

tìm giá trị nhỏ nhất của

$P=\frac{x^3+y^3+z^3}{2x+3y+z+\sqrt{xy}+3\sqrt{yz}+5\sqrt{zx}}$

score 5 · Answer 1

Vì

$x,y,z>0$ và

$xyz=1$ nên

$x + y + z\geq 3$ .

Dễ thấy rằng

$x^3 + \frac{2(x+y+z)}{3}\geq x^3+1+1\geq 3x$ . Suy ra

$x^3\geqslant 3x-\frac{2(x+y+z)}{3}$ .

Chứng minh tương tự thì có

$y^3\geqslant 3y-\frac{2(x+y+z)}{3}$ và

$z^3\geqslant 3z-\frac{2(x+y+z)}{3}$ .

Suy ra

$x^3+y^3+z^3\geq x+y+z>0$ (1).

Lại vì

$x,y,z>0$ nên

$\sqrt{xy}+3\sqrt{yz}+5\sqrt{zx}\leq \frac{x+y}{2}+\frac{3y+3z}{2}+\frac{5z+5x}{2}\leq 3x+2y+4z$ .

Từ đó suy ra

$0<2x+3y+z+\sqrt{xy}+3\sqrt{yz}+5\sqrt{zx}\leq5(x+y+z)$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra

$P\geq \frac{1}{5}$ . Dấu bằng xảy ra khi

$x=y=z=1$ .

1 Đáp án