Vì $x,y,z>0$ và $xyz=1$ nên $x + y + z\geq 3$. Dễ thấy rằng $x^3 + \frac{2(x+y+z)}{3}\geq x^3+1+1\geq 3x$. Suy ra $x^3\geqslant 3x-\frac{2(x+y+z)}{3}$.
Chứng minh tương tự thì có $y^3\geqslant 3y-\frac{2(x+y+z)}{3}$ và $z^3\geqslant 3z-\frac{2(x+y+z)}{3}$.
Suy ra $x^3+y^3+z^3\geq x+y+z>0$ (1).
Lại vì $x,y,z>0$ nên $\sqrt{xy}+3\sqrt{yz}+5\sqrt{zx}\leq \frac{x+y}{2}+\frac{3y+3z}{2}+\frac{5z+5x}{2}\leq 3x+2y+4z$.
Từ đó suy ra $0<2x+3y+z+\sqrt{xy}+3\sqrt{yz}+5\sqrt{zx}\leq5(x+y+z)$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra $P\geq \frac{1}{5}$. Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$.