Với n=1,bđt đúngGiả sử bđt đúng với n=k, tức là ta có ak+bk2≥(a+b)k2(⋆)
Bh ta chỉ cần chứng minh đúng với n=k+1 : ak+1+bk+12≥(a+b)k+12
Đầu tiên ta chứng minh ak+1+bk+12≥ak+bk2.a+b2(⋆⋆)
(⋆⋆)⇔2(ak+1+bk+1)≥(ak+bk)(a+b)
⇔ak+1+bk+1≥akb+abk
Bất đẳng thức trên đúng do:
k số hạng k số hạng
VT=⏞ak+1+ak+1+..+ak+1+bk+1k+1+⏞bk+1+bk+1+...+bk+1+ak+1k+1
≥(k+1)k+1√(ak+1)k.bk+1k+1+(k+1)k+1√(bk+1)k.ak+1k+1( bất đẳng thức cosi cho k+1 số)
=akb+abk
~~~~~~~~~
Từ (⋆),(⋆⋆) ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra ⇔a=b