Ẩn phụ thần công kích....luyện tiếp đi Nam ca

Question

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn đk abc=1.CMR:

$\frac{1}{(a+1)^{2}+b^{2}+1}+\frac{1}{(b+1)^{2}+c^{2}+1}+\frac{1}{(c+1)^{2}+a^{2}+1}\leq \frac{1}{2}$

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/135109/jin-ca-ra-ma-nhan-tung-dai-phap-ne-e-chiu-rui
ca tập trung vào việc của mik đ,muốn ntđp hay j cx đk,miễn ra
mak hình như e thấy dễ thiệt,nên ra cx bình thường

Confusion · Answer 1 · 5/2/2016 2:18:19 PM

Chị ko lm theo đặt ẩn có đc ko: :D

Ta có biến đổi:

Theo Cauchy:

$(a+1)^2+b^2+1=(a^2+b^2)+2a+2\geq 2(ab+a+1)$

$VT\leq \frac{1}{2}(\Sigma \frac{1}{ab+a+1})=\frac{1}{2}.A$

Ta có:

$A=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{ab}+1}+\frac{1}{\frac{1}{b}+a+1}$

$\Leftrightarrow A=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{\frac{b+1+ab}{ab}}+\frac{1}{\frac{1+ab+b}{b}}$

$\Leftrightarrow A=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{1}{ab+b+1}=1$

$\Rightarrow VT\leq \frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}\rightarrow$ đpcm.

Đẳng thức khi

$a=b=c=1$ ./

Note: Bài toán trên cũng được viết dưới dạng:

Cho $\left\{ \begin{array}{l} a,b,c>0\\ abc=1 \end{array} \right..$ Chứng minh $\Sigma \frac{1}{a^2+2b^2+3}\leq \frac{1}{2}$

Cách c.m tương tự./ :D

Chúc em học tốt!

1 Đáp án