$(a+b+c)\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=1$do đó
$\frac{ab}{\sqrt{ab+c}}\leq \frac{ab}{\sqrt{ab+ca+cb+c^{2}}}=\frac{ab}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}\leq \frac{2ab}{(a+c)+(b+c)}$
$\leq \frac{ab}{2(a+c)}+\frac{ab}{2(b+c)}$
tương tự rồi cộng lại ta được
$VT\leq \frac{1}{2}(a+b+c)\leq \frac{1}{2}$
$\Rightarrow $ đpcm
dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$