Cho $a,b,c>0$ và $ab+ac+bc=3$

Question

Chứng minh rằng

$\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

tran85295 · Answer 1 · 5/11/2016 4:24:02 PM

Giả sử

$c= \min \{a,b,c\}$ . Khi đó

$ab \ge 1$

$\Rightarrow \frac1{a^2+1}+\frac 1{b^2+1} \ge \frac{2}{ab+1}$

Nên chỉ cần cm

$\frac{2}{ab+1}+\frac 1{c^2+1} \ge \frac 32$

$\Leftrightarrow2\left[2(c^2+1)+(ab+1) \right]\ge 3(ab+1)(c^2+1)$

$\Leftrightarrow 4c^2+4+2ab+2 \ge 3abc^2+3ab+3c^2+3$

$\Leftrightarrow c^2+3 \ge 3abc^2+ab$

$\Leftrightarrow c^2+bc+ca \ge 3abc^2$

$\Leftrightarrow c(a+b+c-3abc) \ge0$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng do

$(a+b+c)(ab+bc+ca) \ge 9abc\Leftrightarrow a+b+c \ge 3abc$

Vậy ta có dpcm

Đẳng thức xảy ra

$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Trả lời 11-05-16 04:24 PM

tran85295
141 5

10M 559K

$(a,b,c)=(\sqrt 3,\sqrt 3,0)$ thì dấu bằng cũng xảy ra nếu sửa đề bài a,b,c là các số ko âm :3 – tran85295 11-05-16 04:28 PM

1 Đáp án