Giả sử $c= \min \{a,b,c\}$. Khi đó $ab \ge 1$$\Rightarrow \frac1{a^2+1}+\frac 1{b^2+1} \ge \frac{2}{ab+1}$
Nên chỉ cần cm $\frac{2}{ab+1}+\frac 1{c^2+1} \ge \frac 32$
$\Leftrightarrow2\left[2(c^2+1)+(ab+1) \right]\ge 3(ab+1)(c^2+1) $
$\Leftrightarrow 4c^2+4+2ab+2 \ge 3abc^2+3ab+3c^2+3$
$\Leftrightarrow c^2+3 \ge 3abc^2+ab$
$\Leftrightarrow c^2+bc+ca \ge 3abc^2$
$\Leftrightarrow c(a+b+c-3abc) \ge0$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng do $(a+b+c)(ab+bc+ca) \ge 9abc\Leftrightarrow a+b+c \ge 3abc$
Vậy ta có dpcm
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$