$\frac{a^2}{b^3+2c^3}=\frac{a^2}{1-a^3}=\frac{a^3}{a(1-a^3)}$$a(1-a^3)=\sqrt[3]{\frac{3a^3(1-a^3)(1-a^3)(1-a^3)}3}\le\sqrt[3]{\frac{(3a^3+1-a^3+1-a^3+1-a^3)^4}{768}}=\frac3{4\sqrt[3]4}$
$\Rightarrow \frac{a^2}{b^3+2c^3}\ge\frac{4\sqrt[3]4a^3}3$
tương tự cộng lại ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac1{\sqrt[3]4}$