$VT=\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)} \left ( \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} \right)$$\ge \sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}.\left[3\sqrt[6]{(a+b)(b+c)(c+a)} \right]$
$=3\left[(a+b)(b+c)(c+a) \right]^{\frac 23}$
$\ge 3\left[ \frac 89(a+b+c)(ab+bc+ca) \right]^{\frac 23}=4\left[ \frac{\sqrt3}3(a+b+c)(ab+bc+ca)\right]^{\frac 23}$
$\Rightarrow VT \ge VP\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{3} \ge ab+bc+ca$ (luôn đúng)
$\Rightarrow$ dpcm, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$