Giải cho một bạn ở VMF P2

Question

Cho

$a,b,c>0.$ CMR:

$\sum \frac{(b+c+2a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq 8.$

Xem thêm :

Mời mọi người tham gia cuộc thi do các Admin tổ chức nhé CLICK !

Confusion · Answer 1 · 6/2/2016 9:18:28 AM

Bình chọn tăng 7 Bình chọn giảm

Cách .......:

Ta có biến đổi:

$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}=3-\frac{2(b+c-a)^2}{2a^2+(b-c)^2}\leq 3-\frac{2(b+c-a)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=3-\frac{(b+c-a)^2}{a^2+b^2+c^2}$

$\rightarrow$ Cần chứng minh:

$\frac{\Sigma (b+c-a)^2}{a^2+b^2+c^2}\geq 1$

$\Leftrightarrow \Sigma (b+c-a)^2\geq a^2+b^2+c^2$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ (lđ)

$\Rightarrow ..................$

Trả lời 02-06-16 09:18 AM

Confusion
851 1 7

164K 882K

Confusion · Answer 2 · 5/28/2016 8:28:10 PM

Bình chọn tăng 13 Bình chọn giảm

Cách 2:

Ta có biến đổi:

$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}=1+\frac{4a(b+c)}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{2a^2}{2a^2+(b+c)^2}$

$\Rightarrow VT=3+\Sigma \frac{4a}{2a^2+(b+c)^2}+\Sigma \frac{2a^2}{2a^2+(b+c)^2}$

Ta c/m;

$A=\Sigma \frac{4a(b+c)}{2a^2+(b+c)^2}\leq 4$

A/d

$AM-GM$ , ta có:

$a^2+\frac{(b+c)^2}{4}\geq a(b+c),$ từ đó:

$\frac{4a(b+c)}{(b+c)^2+2a^2}$

$\leq \frac{4a(b+c)}{\frac{(b+c)^2}{2}+2a(b+c)}=\frac{8a}{4a+b+c}$

Theo

$AM-GM,$ có:

$2(\frac{a}{a+b+c}+\frac{a}{3a})\geq \frac{8a}{4a+b+c}$

$\Rightarrow A\leq \Sigma \frac{8a}{4a+b+c}\leq 2+2=4$ (đpcm)

Đẳng thức khi

$a=b=c=1.$

Tiếp tục c/m:

$B=\Sigma \frac{2a^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq 1$

lịch sử

Sửa 28-05-16 08:28 PM

Confusion
851 1 7

164K 882K

Trả lời 28-05-16 02:56 PM

Confusion
851 1 7

164K 882K

ai lm tiếp hộ vs, mình tắc r :(( – Confusion 28-05-16 08:28 PM

Confusion · Answer 3 · 5/28/2016 2:03:23 PM

Ta có:

$3-\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}=\frac{2(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}$

Suy ra, BĐT cần c/m tg đg

$\Sigma \frac{2(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq 1(*)$

A/d Cauchy - Schwarz, ta có:

$\frac{2(b+c-a)^2}{2a^2(bc)^2}\geq \frac{2(b+c-a)^2}{2a^2+2(b+c)^2}=\frac{(b+c-a)^2}{a^2+b^2+c^2}$

Tương tự:.............

Cộng vế đc:

$VT(*)\geq \frac{\Sigma (b+c-a)^2}{a^2+b^2+c^2}(**)$

A/d Cauchy - Schwarz, có:

$\frac{(b+c-a)^2}{2}+\frac{(c=a-b)^2}{2}\geq \frac{(b+c-a+c+a-b)^2}{4}=c^2$

.....................

Cộng vế được:

$(**)\geq 1$

Vậy

$(*)$ đúng, suy ra BĐT đầu đúng

$\rightarrow đpcm$

Hỏi	28-05-16 01:47 PM
Lượt xem	1995
Hoạt động	02-06-16 09:18 AM

Giải cho một bạn ở VMF P2

3 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Giải cho một bạn ở VMF P2

3 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan