ko cần treo sò hộ

Question

Cho

$x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

$x^2+y^2+z^2+2xyz=1$

CMR

a)

$xyz\leq \frac{1}{8}$

b)

$x+y+z\leq \frac{3}{2}$

c)

$xy+yz+zx\leq \frac{3}{4}\leq x^2+y^2+z^2$

d)

$xy+yz+zx\leq \frac{1}{2}+2xyz$ .

Xem thêm:

Mời mọi người tham gia cuộc thi do các Admin tổ chức CLICK!

không đăng lặp lại như thế này nhé, anh đang bận công việc, em có thể inbox cho Trần Hoàng Nam, nhờ mod này giải nhé

tran85295 · Answer 1 · 5/29/2016 11:41:57 PM

Bình chọn tăng 9 Bình chọn giảm

a)

$1=x^2+y^2+z^2+2xyz \ge 3\sqrt[3]{(xyz)^2}+2xyz\Leftrightarrow xyz \le \frac 18$ (ok)

b)Trong tam giác

$ABC$ ta có đẳng thức sau

$\color{blue}{\cos^2 A+\cos^2 B+\cos^2C+2\cos A \cos B\cos C=1}$

Với điều kiện đã cho ta có thể đặt

$x=\cos A, y=\cos B,z=\cos C$

Ta lại có đẳng thức

$\color{blue}{\cos A+\cos B+\cos C \le \frac 32}$

$\Leftrightarrow x+y+z \le \frac 32$ (ok)

c) Từ b) ta có

$(x+y+z)^2 \le \frac 94\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) \le \frac 94$

$\Leftrightarrow 1-2xyz+2(xy+yz+zx) \le \frac 94$

$\Leftrightarrow xy+yz+zx \le \frac 58+xyz \le \frac 34$ (ok)

~~~~~~~~~

$x^2+y^2+z^2=1-2xyz \ge 1-\frac 14=\frac 34$ (ok)

d) chưa nghĩ ra :3

Trả lời 29-05-16 11:41 PM

tran85295
141 5

10M 559K

lượng giác hóa – ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 30-05-16 12:11 AM

câu b) hay đấy. áp dụng cả lượng giác – nguyenquangtruonghktcute 29-05-16 11:47 PM

*Note : Phần màu xanh chứa link, click vào để xem cách chứng minh. – tran85295 29-05-16 11:43 PM

๖ۣۜDevilღ · Answer 2 · 5/30/2016 12:07:02 AM

Bình chọn tăng 8 Bình chọn giảm

Đặt

$x=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(b+c)}}$

$y=\frac{b}{\sqrt{(a+b)(b+c)}}$

$z=\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$

BĐT được viết lại dưới dạng

$(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2\leq 3$

Áp Dụng Bunhia

$(x+y)^2=\left ( \frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}} +\frac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}\right )^2\leq \left ( \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+a} \right )\left ( \frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c} \right )=\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}$

tưng tự rồi + lại có đpcm

Trả lời 30-05-16 12:07 AM

๖ۣۜDevilღ
1

10M 539K

Hỏi	29-05-16 10:20 PM
Lượt xem	1310
Hoạt động	30-05-16 12:07 AM

ko cần treo sò hộ

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

ko cần treo sò hộ

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan