Tìm x, y, z?

Question

Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho: $\sqrt{x}+\sqrt{y-z}+\sqrt{z-x}=\frac{1}{2}(y+3)$

☼SunShine❤️ · Answer 1 · 6/8/2016 8:02:07 AM

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz $(*)$ : $(a + b + c)^{2} \leq 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}), (\forall a, b, c) . Dấu = xảy ra \Leftrightarrow a = b = c$

Và BĐT Cauchy $(* *)$ : $a b \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2}, (\forall a, b) . Dấu = xảy ra \Leftrightarrow a = b$

Ta có : $\frac{y + 3}{2} = \sqrt{x} + \sqrt{y - z} + \sqrt{z - x} \overset{(*)}{\leq} \sqrt{3 [x + (y - z) + (z - x)]} = \sqrt{3 y} \overset{(* *)}{\leq} \frac{y + 3}{2}$

$\Rightarrow$ Dấu $=$ trong BĐT $(*)$ và $(* *)$ xảy ra

$\Rightarrow x = y - z = z - x$ và $y = 3$

$\Rightarrow x = 1; y = 3; z = 2$

Thử lại thấy thoả pt. Vậy nghiệm của pt là $(x, y, z) = (1, 3, 2) .$

Trả lời 08-06-16 08:02 AM

☼SunShine❤️
850 1 7

1M 788K

☼SunShine❤️ · Answer 2 · 6/8/2016 8:01:19 AM

Bình chọn tăng 10 Bình chọn giảm

ĐK $y \geq z \geq x \geq 0$

Áp dụng BĐT $A M - G M$ ta có:

$\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2} (1)$

$\sqrt{y - z} \leq \frac{y - z + 1}{2} (2)$

$\sqrt{z - x} \leq \frac{z - x + 1}{2} (3)$

$(1) + (2) + (3)$ $\Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{y - z} + \sqrt{z - x} \leq \frac{x + 1 + y - z + 1 + z - x + 1}{2} = \frac{1}{2} (y + 3)$

Dấu $"="$ xảy ra $y = 3; z = 2; x = 1$

Trả lời 08-06-16 08:01 AM

☼SunShine❤️
850 1 7

1M 788K

Løve♥Rußiç · Answer 3 · 6/8/2016 7:59:49 AM

Bình chọn tăng 10 Bình chọn giảm

ĐK : ...
$bt \Leftrightarrow 2\sqrt{x} +2\sqrt{y-z} +2 \sqrt{z-x} = y+3 $
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^{2} +(\sqrt{y-z}-1)^{2}+(\sqrt{z-x}-1)^{2}=0$
$\Leftrightarrow ...$
P/s : Lm ntn r mà còn khiếu nại thì e cũng chịu :|
Nghe nhạc : Click

Trả lời 08-06-16 07:59 AM

Løve♥Rußiç
1

2K 38K