bất đẳng thức 4

Question

Cho a,b,,c là các số thực dương thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Chứng minh :

$\frac{a^{2}+ab+1}{\sqrt{a^{2}+3ab+c^{2}}}+\frac{b^{2}+bc +1}{\sqrt{b^{2}+3bc+a^{2}}}+\frac{c^{2}+ca+1}{\sqrt{c^{2}+3ca+b^{2}}}\geq \sqrt{5}(a+b+c)$

Nguyễn Nhung · Answer 1 · 6/22/2016 12:19:06 AM

$ \sum\frac{a^{2}+ab+1}{\sqrt{a^{2}+3ab+c^{2}}}\geq \sum \frac{a^{2}+ab+1}{\sqrt{a^{2}+ab+a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

=$\sum \sqrt{a^{2}+ab+1}$

$(a+\frac{3}{2}(a+b)+c)^{2} \leq (1+3+1)(a^{2}+\frac{3}{4}(a+b)^{2}+c^{2})$

$\leq 5(a^{2}+a^{2}+ab+b^{2}+c^{2})=5(a^{2}+ab+1)$

$\Rightarrow \sqrt{a^{2}+ab+1} \geq \frac{1}{\sqrt{5}}(a+\frac{3}{2}(a+b)+c)$

$\Rightarrow \sum \sqrt{a^{2}+ab+1}\geq \frac{1}{\sqrt{5}} \sum (a+\frac{3}{2}(a+b)+c)=\sqrt{5} (a+b+c)$

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Trả lời 22-06-16 12:19 AM

Nguyễn Nhung
76 3

84K 552K

thank bạn nha, nào mình đăng cách của mình bạn xem hộ mình nha! – ♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫ 22-06-16 10:43 AM

♫ξ♣ __Kevil__♣ ζ♫ · Answer 2 · 6/24/2016 8:01:49 AM

Ta có :

$\forall x,y>0 $ ta có $x^{2}+y^{2} \geq 2xy<=>x^{2}\geq 2xy-y^{2}<=>\frac{x^{2}}{y}\geq 2x-y$

$=>\frac{a^{2}+ab+1}{\sqrt{a^{2}+3ab+b^{2}}}=\sqrt{\frac{(a^{2}+ab+1)^{2}}{a^{2}+3ab+b^{2}}}\geq \sqrt{2(a^{2}+ab+1)-(a^{2}+3ab+b^{2})}$

$=\sqrt{2+a^{2}-c^{2}-ab}\geq \sqrt{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+a^{2}-c^{2}-\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}$

$=\sqrt{\frac{5a^{2}+3b^{2}+2c^{2}}{2}}=\sqrt{\frac{10(a^{2}+a^{2}+a^{2}+a^{2}+a^{2}+b^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}+c^{2})}{20}}$

$\geq \frac{\sqrt{(a+a+a+a+a+b+b+b+c+c)^{2}}}{2\sqrt{5}}=\frac{5a+3b+2c}{2\sqrt{5}}$

Tương tự cộng lại ta được điều cần chứng minh

Đẳng thức xảy ra $<=>a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

2 Đáp án