Điều kiện của bất phương trình $x\geq -1$.Phương trình đã cho tương đương với $2(\sqrt{x+1}-1)-(\sqrt{x^2-x+1}-1)-x(x+4)\geq0$,
hay $\frac{2x}{\sqrt{x+1}+1}-\frac{x^2-x}{\sqrt{x^2-x+1}+1}-x(x+4)\geq0$,
hay $x(\frac{2}{\sqrt{x+1}+1}-\frac{x-1}{\sqrt{x^2-x+1}+1}-x-4)\geq0$,
hay $x[\frac{-2\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}+1}-\frac{2x+1+(x+2)\sqrt{x^2-x+1}}{\sqrt{x^2-x+1}+1}]\geq0$ (1).
i/ Trường hợp $x>0$.
Khi đó $\frac{-2\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}+1}-\frac{2x+1+(x+2)\sqrt{x^2-x+1}}{\sqrt{x^2-x+1}+1}<0$; suy ra (1) vô nghiệm.
ii/ Trường hợp $-1\leq x\leq 0$.
Khi đó $x^2-x+1\geq 1$ và $x+2>0$.
Suy ra $2x+1+(x+2)\sqrt{x^2-x+1}\geq 3(x+1)\geq 0$,
suy ra $\frac{-2\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}+1}-\frac{2x+1+(x+2)\sqrt{x^2-x+1}}{\sqrt{x^2-x+1}+1}\leq 0$.
Suy ra (1) luôn thỏa mãn.
Vậy, nghiệm $x$ của bất phương trình thỏa mãn $-1\leq x\leq 0$.