Cho $a=-3,b=4,c=1$ thì bdt sai :))Nếu đề cho $a,b,c>0$, trừ 2 vế cho 2
$bdt\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ca-(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca} \ge \frac{2(8abc-(a+b)(b+c)(c+a))}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ $ \Leftrightarrow \frac{(a+b)(b+c)(c+a)-8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \ge \frac{2(a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca)}{4(a^2+b^2+c^2)} $
$\Leftrightarrow \frac{a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2}{(a+b)(b+c)(c+a)} \ge \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{4(a^2+b^2+c^2)}$
$\Leftrightarrow \sum (b-c)^2\bigg[\frac{a}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{1}{4(a^2+b^2+c^2)} \bigg] \ge0$
$\Leftrightarrow S_a(b-c)^2+S_b(a-c)^2+S_c(a-b)^2 \ge0$
Giả sử $a \ge b \ge c$
Khi đó $S_a \ge S_b \ge S_c,2b \ge b+c$
$2S_b=\frac{2b}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)} \ge \frac{1}{(a+b)(a+c)}-\frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)} >0$
Khi đó áp dụng bdt $(a-c)^2 \ge (a-b)^2+(a-c)^2$ ta có ngay dpcm