Chứng minh rằng: $\sum_{cyclic}^{} \frac{a_1}{a_2+a_3+....+a_{n}+1}+(1-a_1)(1-a_2).......(1-a_n)\leq 1$

Question

Cho

$\left\{ \begin{array}{l} n \in N\\ n\geq 2\end{array} \right.$ và

$a_1;a_2;...;a_n \in [0;1].$

Chứng minh rằng:

$\sum_{cyclic}^{} \frac{a_1}{a_2+a_3+....+a_{n}+1}+(1-a_1)(1-a_2).......(1-a_n)\leq 1$

tran85295 · Answer 1 · 7/11/2016 1:51:36 AM

Ko mất tính tổng quát, giả sử

$a_1=\max \lbrace a_1,a_2,a_3,...a_n \rbrace$

Khi đó

$\frac{a_2}{a_1+a_3+a_4+...+a_{n}+1} \le \frac{a_2}{a_2+a_3+a_4+...+a_{n}+1 }$

$\frac{a_3}{a_1+a_2+a_4+...+a_{n}+1} \le \frac{a_3}{a_2+a_3+a_4+...+a_{n}+1 }$

$\frac{a_4}{a_1+a_2+a_3+a_5+...+a_{n}+1} \le \frac{a_4}{a_2+a_3+a_4+...+a_{n}+1 }$

$\begin{matrix} ............\\ ............ \end{matrix}$

$\frac{a_{n+1}}{a_1+a_2+a_3+...+a_n} \le \frac{a_4}{a_2+a_3+a_4+...+a_{n}+1 }$

Do đó

$\sum_{cyc}\frac{a_1}{a_2+a_3+a_4+...+a_{n}+1} \le \frac{a_1+a_2+a_3...+a_{n}}{a_2+a_3+a_4+...+a_{n}+1}$

Nên chỉ cần cm

$f(a_1)=\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_{n}}{a_2+a_3+a_4+...+a_{n}+1}+\prod_{i=1}^n(a_i-1)-1 \le 0$

Biểu thức

$f(a_1)$ là hàm bậc nhất theo biến

$a_1\in[0;1]$

$\Rightarrow f(a_1) \le \max \lbrace {f(0);f(1)} \rbrace$

Lại có

$f(1)=0,f(0)=0$ (do

$a_1=\max \lbrace a_1,a_2,a_3,...a_n \rbrace$ , và

$a_1=0$ )

$\Rightarrow$ dpcm

Đẳng thức xảy ra khi các biến nhận giá trị 0,1

1 Đáp án