Không mất tính tổng quát giả sử a1≥a2≥a3≥...≥anXét 2 trường hợp
Nếu a2≥1 thì ta có (a2−1)(a2−2)≤0⇔a22+2≤3a2
Tương tự ta cũng có a21+2≤3a1
Lại có n∑k=3ak=3−a1−a2≤3−1−1=1
Suy ra 0≤an≤an−1≤...≤a4≤a3≤1
Suy ra n∑k=3a2k≤n∑k=3ak
Suy ra n∑k=1a2k+4≤n∑k=1ak+2(a1+a2)≤3+2.3=9
Suy ra dpcm
Nếu a2≤1 thì tương tự ta cũng có n∑k=2a2k≤k∑k=2ak
Mà a1(a1−2)≤0⇔a21≤2a1
Kết hợp 2 điều trên ta có n∑k=1a2k≤n∑k=1ak+a1≤3+2=5(dpcm)
Phép chứng minh hoàn tất, đẳng thức xảy ra khi 1 số bằng 2, 1 số bằng 1, tất cả các số còn lại (nếu có) bằng không.