Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$
$F=x^4+\frac yx+\frac 4x+y^2-2y+\frac x{y^2}$$=\left( x^4+\frac 1x+\frac 1x+\frac 1x+\frac 1x\right)+\left( \frac{y}{x}+\frac{x}{y^2}\right)+y^2-2y$
$ \ge 5+\sqrt{\frac 1y}+y^2-2y=(y-1)^2+2\sqrt{\frac 1y}+4 \ge 0+2\sqrt{\frac 11}+4=6$
$F_{\min}=6\Leftrightarrow x=y=1$