Đặt $\begin{cases}p=a+b+c=1 \\q=ab+bc+ca,\quad q\in \left[0 ; \frac{1}{3} \right]\\ r=abc ,\end{cases}$
Ta có $P^2=p^2q^2-4q^3+2pr(9q-2p^2)-27r^2$
$ f(r)= -27r^2+2r(9q-2)+q^2(1-4q)$
Xem đây là tam thức bậc 2 theo $r$
Ta có $f(r)$ đạt max khi $r=0$ hoặc $r=\frac 1{27}$ hoặc $r=\frac{-b}{2a}=\frac{2-9q}{27}$
Dùng bdt $AM-GM$ ta có với $r=0$ thì $f(r)=q^2(1-4q) \le \frac 1{108}$
Với $r=\frac 1{27},f(r)=q^2(1-4q)+\frac{2(9q-2)}{27}-\frac{1}{27} \le 0$ với $q \in \left[0;\frac 13 \right]$
Với $r=\frac{2-9q}{27}$ thì rõ ràng $f(r)<f(0)$
Tóm lại ta có $P^2 \le \frac{1}{108}\Leftrightarrow \frac{-\sqrt 3}{18} \le P \le \frac{\sqrt 3}{18}$
Tới đây dễ rồi
