Ta có$\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}=a-\frac{2ab^{2}}{a+2b^{2}}\geq a-\frac{2ab^{2}}{3\sqrt[3]{ab^{4}}}=a-\frac{2}{3}\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}$
$\geq a-\frac{2}{9}(2ab+1)=a-\frac{4ab}{9}-\frac{2}{9}$
Chứng minh tương tự
$\Rightarrow \frac{a^{2}}{a+2b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{2}}\geq (a+b+c)-\frac{4}{9}(ab+bc+ac)-\frac{2}{3}$
$\geq 3-\frac{4}{9}\frac{(a+b+c)^{2}}{3}-\frac{2}{3}=1\Rightarrow đpcm$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1