Hay

Question

Cho x,y,z>0 Cmr

$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{36}{9+x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}$

๖ۣۜTQT☾♋☽ · Answer 1 · 8/7/2017 5:36:56 PM

$\Leftrightarrow(xy+yz+zx)(z^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+9)\geq 36xyz$(cần CM)

Ta có$:xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3\sqrt[12]{x^8y^8z^8}$

Và$:x^2yy^2+y^2z^2+z^2x^2+9\geq3\sqrt[3]{(xyz)^4}+3+3+3\geq 4\sqrt[4]{3^4.\sqrt[3]{(xyz)^4}}=12\sqrt[12]{x^4y^4z^4}$

Nhân 2 vế của 2 bđt vùa rồi đc điều phải cm

Trả lời 07-08-17 05:36 PM

๖ۣۜTQT☾♋☽
1

404K 483K

score 1 · Answer 2

$VT\ge \frac1{\sqrt{xy}}+\frac1{\sqrt{yz}}+\frac1{\sqrt{zx}}\ge\frac9{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}=\frac{36}{4\sqrt{xy}+4\sqrt{yz}+4\sqrt{zx}}$

Có $4\sqrt{xy}\le x^2y^2+1+1+1$

... tương tự thay vào ta có đpcm

2 Đáp án