Nhân 2 vào 2 vế, ta có:2x2+2+2y2+2+2z2+2 ≤187
Trừ mỗi vế đi 3, ta được 1 bất đẳng thức tương đương:
A=x2x2+2+y2y2+2+z2z2+2 ≥37 (1)
Có:3xy+yz+zx ≤(x+y+z)2
Thật vậy, bất đẳng thức đã cho tương đương: 3xy+3yz+3zx≤x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx
⇔ x2+y2+z2−xy−yz−zx≥0
⇔ 2x2+2y2+2z2−2xy−2yz−2zx≥0
⇔ (x−y)2+(y−z)2+(z−x)2≥0
Luôn đúng, nên 3(xy+yz+zx)≤(x+y+z)2
⇔ 3.4(xy+yz+zx)=3.4≤4(x+y+z)2
⇔ 4≤4(x+y+z)23
Quay trở lại bất đẳng thức (1): Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-copxki ta có:
A=x2x2+2+y2y2+2+z2z2+2
≥(x+y+z)2x2+y2+z2+6
≥(x+y+z)2x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx+4
≥(x+y+z)2(x+y+z)2+4
≥(x+y+z)2(x+y+z)2+4(x+y+z)23
≥3(x+y+z)27(x+y+z)2
≥37 (Q.E.D)
Dấu bằng xảy ra ⇔x=y=z=1√3